Метод лапласа матрицы онлайн. Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу). Разложение определителя по строке или столбцу

Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду . Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по i -той строке.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по j -той строке.

Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3

Сделаем ноль вместо элемента a 4 3 =9 . Для этого из строки №4 вычтем от соответствующие элементы строки №1 умноженные на 3 .
Результат записываем в строке №4 все остальные строки переписываем без изменений.

Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a 1 3 = 3 в столбце № 3 . Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.

Видим, что только слагаемое №1 не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.
Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:

Будем раскладывать этот определитель за строкой №1 . Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2 , и результат запишем в столбце №3 , от этого величина определителя не изменится.

Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a 1 2 =4 . Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4 . Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.

Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец №2 на 3 , то и весь определитель увеличится в 3 . А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3 .

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе. Поэтому даже если вы находите определитель матрицы самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн . Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи определение детерминанта матрицы являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн !

Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных - возможность получения подробного решения. Наш сервис при вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений. Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.

1.Теорема разложения:

Всякий определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения.

Для i- й строки:

или для j -го столбца:

Пример 7.1. Вычислить определитель разложением по элементам первой строки:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

Теорема разложения позволяет заменить вычисление одного определителя n- го порядка вычислением n определителей (n- 1)-го порядка.

Однако для упрощения вычислений целесообразно для определителей высоких порядков использовать метод «размножения нулей», основанный на свойстве 6 раздела 5. Его идея:

Сначала «размножить нули» в некотором ряду, т.е. получить ряд, в котором только один элемент не равен нулю, остальные нули;

Затем разложить определитель по элементам этого ряда.

Следовательно, на основании теоремы разложения исходный определитель равен произведению ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.

Пример7.2. Вычислить определитель:

«Размножим нули» в первом столбце.

От второй строки вычтем первую, умноженную на 2, от третьей строки вычтем первую, умноженную на 3, а от четвертой строки вычтем первую, умноженную на 4. При таких преобразованиях величина определителя не изменится.

По свойству 4 раздела 5 можем вынести за знак определителя из 1-го столбца, из 2-го столбца и из 3-го столбца.

Следствие: Определитель с нулевым рядом равен нулю.

2. Теорема замещения:

Сумма парных произведений каких-либо чисел на алгебраические дополнения некоторого ряда определителя равна тому определителю, который получается из данного, если в нем заменить элементы этого ряда взятыми числами.

Для -й строки:

1. Теорема аннулирования:

Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

Действительно, по теореме замещения получаем определитель, у которого в k -й строке стоят те же элементы, что и в i -й строке

Но по свойству 3 раздела 5 такой определитель равен нулю.

Т.о., теорему разложения и ее следствия можно записать следующим образом:

8. Общие сведения о матрицах. Основные определения.

Определение 8.1 . Матрицей называется следующая прямоугольная таблица:

Применяют также следующие обозначения матрицы: , или , или .

Строки и столбцы матрицы именуются рядами.

Величина называется размером матрицы.

Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получим матрицу, называемую транспонированной . Матрица, транспонированнаяс , обычно обозначается символом .

Например:

Определение 8.2 . Две матрицы A и B называются равными , если

1) обе матрицы одинаковых размеров, т.е. и ;

2) все их соответствующие элементы равны, т.е.

Тогда . (8.2)

Здесь одно матричное равенство (8.2) эквивалентно скалярных равенств (8.1).

9. Разновидности матриц.

1) Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ноль-матрицей:

2) Если матрица состоит только из одной строки, то она называется матрицей-строкой, например . Аналогично этому матрица, имеющая только один столбец, именуется матрицей-столбцом, например .

Транспонирование переводит матрицу-столбец в матрицу-строку и наоборот.

3) Если m = n , то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.

Диагональ членов квадратной матрицы, идущая из левого верхнего угла в ее правый нижний угол, называется главной . Другая же диагональ ее членов, идущая из левого нижнего угла в ее правый верхний угол, именуется побочной .

Для квадратной матрицы может быть вычислен определитель det(A) .

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой - две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Матрицы применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. При этом количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов – количеству неизвестных. Как результат – решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрица записывается в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (к примеру, целых, комплексных или действительных чисел). Является совокупностью строк и столбцов, на пересечении которых находятся ее элементы. Размер матрицы задается количеством строк и столбцов.

Важным значением любой матрицы является её определитель, который вычисляется по определённой формуле. Вручную необходимо проделать ряд операций с матрицей, чтобы вычислить её определитель. Определитель может быть как положительным, так отрицательным, так и равен нулю. Чтобы проверить свои вычисления определителя матрицы, Вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Онлайн калькулятор мгновенно посчитает определитель матрицы и выдаст точное значение.

Определитель матрицы – это своеобразная характеристика матрицы, а точнее с помощью него можно определить имеет ли соответствующая система уравнений решение. Определитель матрицы широко используется в науке, такой как физика, с помощью которого вычисляется физический смысл многих величин.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Также с помощью нашего калькулятора вы сможете решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.